sin(x) 테일러 급수 시각화

항의 개수가 늘어남에 따라 테일러 다항식이 실제 sin(x) 곡선에 어떻게 근사하는지 확인해 보세요.

항의 개수 (n): 1

f(x) ≈ x

테일러 급수 공식 (x=0에서)

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

포물체 운동 (Projectile Motion) 시각화

초기 속도의 성분(V_x, V_y)을 조절하여 포물체 운동의 궤적과 공식을 확인해 보세요.

발사 각도 (θ): 45°

초기 속도 (V₀): 50 m/s

수평 속도 (V_x): 0.0 m/s

수직 속도 (V_y): 0.0 m/s

최고점 높이 (H): 0.00 m

수평 이동 거리 (R): 0.00 m

포물체 운동 공식 (공기 저항 없음)

수평 운동 (등속)

x(t) = V_x · t

a_x = 0

수직 운동 (등가속도)

y(t) = V_yt - ½gt²

v_y(t) = V_y - gt

주요 지표

T_peak = V_y / g

H = V_y² / 2g

R = 2V_xV_y / g

복소수와 오일러 공식 (Euler's Formula)

복소평면에서의 연산을 시각화하고, 가장 아름다운 공식이라 불리는 오일러 공식을 이해해 보세요.

1. 오일러 공식의 증명 (테일러 급수 활용)

지수함수, 사인함수, 코사인함수의 테일러 급수는 다음과 같습니다:

• e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

• cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ...

• sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ...

지수함수의 x 자리에 ix를 대입하면 (i² = -1):

e^ix = 1 + (ix) + (ix)²/2! + (ix)³/3! + (ix)⁴/4! + ...

e^ix = (1 - x²/2! + x⁴/4! - ...) + i(x - x³/3! + x⁵/5! - ...)

∴ e^ix = cos x + i sin x

2. 복소평면 연산 시각화

복소수 z₁ = a + bi

a: 5

b: 10

极형식: r(cos θ + i sin θ)

복소수 z₂ = c + di

c: 15

d: -5

极형식: r(cos θ + i sin θ)

z₁ + z₂ = (2 + 1) + (3 - 2)i = 3 + 1i

결과 극형식: r(cos θ + i sin θ)

연산의 기하학적 의미

덧셈/뺄셈

복소평면에서 두 복소수를 벡터로 취급하여 평행사변형 법칙을 따릅니다.

곱셈

두 복소수의 크기는 곱하고, 각도(편각)는 더합니다. (회전과 확대)

나눗셈

두 복소수의 크기는 나누고, 각도는 뺍니다.